使用 Python 自带的运算符，你可以完成数学中的加减乘除，以及取余、取整，幂次计算等。导入自带的 math 模块之后，里面又包含绝对值、阶乘、开平方等一些常用的数学函数。不过，这些函数仍然相对基础。如果要完成更加复杂一些的数学计算，就会显得捉襟见肘了。

NumPy 为我们提供了更多的数学函数，以帮助我们更好地完成一些数值计算。下面就依次来看一看。

三角函数

首先, 看一看 NumPy 提供的三角函数功能。这些方法有：

• numpy.sin(x)：三角正弦。
• numpy.cos(x)：三角余弦。
• numpy.tan(x)：三角正切。
• numpy.arcsin(x)：三角反正弦。
• numpy.arccos(x)：三角反余弦。
• numpy.arctan(x)：三角反正切。
• numpy.hypot(x1,x2)：直角三角形求斜边。
• numpy.degrees(x)：弧度转换为度。
• numpy.radians(x)：度转换为弧度。
• numpy.deg2rad(x)：度转换为弧度。
• numpy.rad2deg(x)：弧度转换为度。

比如，我们可以用上面提到的 numpy.rad2deg(x) 将弧度转换为度。

import numpy as np
np.rad2deg(np.pi)  # PI 值弧度表示

双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲函数经常出现于某些重要的线性微分方程的解中，使用 NumPy 计算它们的方法为：

• numpy.sinh(x)：双曲正弦。
• numpy.cosh(x)：双曲余弦。
• numpy.tanh(x)：双曲正切。
• numpy.arcsinh(x)：反双曲正弦。
• numpy.arccosh(x)：反双曲余弦。
• numpy.arctanh(x)：反双曲正切。

数值修约

数值修约, 又称数字修约, 是指在进行具体的数字运算前, 按照一定的规则确定一致的位数, 然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程。比如, 我们常听到的「4 舍 5 入」就属于数值修约中的一种。

• numpy.around(a)：平均到给定的小数位数。
• numpy.round_(a)：将数组舍入到给定的小数位数。
• numpy.rint(x)：修约到最接近的整数。
• numpy.fix(x, y)：向 0 舍入到最接近的整数。
• numpy.floor(x)：返回输入的底部(标量 x 的底部是最大的整数 i)。
• numpy.ceil(x)：返回输入的上限(标量 x 的底部是最小的整数 i).
• numpy.trunc(x)：返回输入的截断值。

求和、求积、差分

下面这些方法用于数组内元素或数组间进行求和、求积以及进行差分。

• numpy.prod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积。
• numpy.sum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和。
• numpy.nanprod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积, 将 NaN 视作 1。
• numpy.nansum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和, 将 NaN 视作 0。
• numpy.cumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积。
• numpy.cumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和。
• numpy.nancumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积, 将 NaN 视作 1。
• numpy.nancumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和, 将 NaN 视作 0。
• numpy.diff(a, n, axis)：计算沿指定轴的第 n 个离散差分。
• numpy.ediff1d(ary, to_end, to_begin)：数组的连续元素之间的差异。
• numpy.gradient(f)：返回 N 维数组的梯度。
• numpy.cross(a, b, axisa, axisb, axisc, axis)：返回两个(数组）向量的叉积。
• numpy.trapz(y, x, dx, axis)：使用复合梯形规则沿给定轴积分。

下面，我们选取几个举例测试一下：

指数和对数

如果你需要进行指数或者对数求解，可以用到以下这些方法。

• numpy.exp(x)：计算输入数组中所有元素的指数。
• numpy.log(x)：计算自然对数。
• numpy.log10(x)：计算常用对数。
• numpy.log2(x)：计算二进制对数。

算术运算

当然，NumPy 也提供了一些用于算术运算的方法，使用起来会比 Python 提供的运算符灵活一些，主要是可以直接针对数组。

• numpy.add(x1, x2)：对应元素相加。
• numpy.reciprocal(x)：求倒数 1/x。
• numpy.negative(x)：求对应负数。
• numpy.multiply(x1, x2)：求解乘法。
• numpy.divide(x1, x2)：相除 x1/x2。
• numpy.power(x1, x2)：类似于 x1^x2。
• numpy.subtract(x1, x2)：减法。
• numpy.fmod(x1, x2)：返回除法的元素余项。
• numpy.mod(x1, x2)：返回余项。
• numpy.modf(x1)：返回数组的小数和整数部分。
• numpy.remainder(x1, x2)：返回除法余数。

矩阵和向量积

求解向量、矩阵、张量的点积等同样是 NumPy 非常强大的地方。

• numpy.dot(a, b)：求解两个数组的点积。
• numpy.vdot(a, b)：求解两个向量的点积。
• numpy.inner(a, b)：求解两个数组的内积。
• numpy.outer(a, b)：求解两个向量的外积。
• numpy.matmul(a, b)：求解两个数组的矩阵乘积。
• numpy.tensordot(a, b)：求解张量点积。
• numpy.kron(a, b)：计算 Kronecker 乘积。

除了上面这些归好类别的方法，NumPy 中还有一些用于数学运算的方法，归纳如下：

• numpy.angle(z, deg)：返回复参数的角度。
• numpy.real(val)：返回数组元素的实部。
• numpy.imag(val)：返回数组元素的虚部。
• numpy.conj(x)：按元素方式返回共轭复数。
• numpy.convolve(a, v, mode)：返回线性卷积。
• numpy.sqrt(x)：平方根。
• numpy.cbrt(x)：立方根。
• numpy.square(x)：平方。
• numpy.absolute(x)：绝对值, 可求解复数。
• numpy.fabs(x)：绝对值。
• numpy.sign(x)：符号函数。
• numpy.maximum(x1, x2)：最大值。
• numpy.minimum(x1, x2)：最小值。
• numpy.nan_to_num(x)：用 0 替换 NaN。
• numpy.interp(x, xp, fp, left, right, period)：线性插值。

上面，我们分为 8 个类别，介绍了 NumPy 中常用到的数学函数。这些方法让复杂的计算过程表达更为简单。除此之外，NumPy 中还包含一些代数运算的方法，尤其是涉及到矩阵的计算方法，求解特征值、特征向量、逆矩阵等，非常方便。

• numpy.linalg.cholesky(a)：Cholesky 分解。
• numpy.linalg.qr(a ,mode)：计算矩阵的 QR 因式分解。
• numpy.linalg.svd(a ,full_matrices,compute_uv)：奇异值分解。
• numpy.linalg.eig(a)：计算正方形数组的特征值和右特征向量。
• numpy.linalg.eigh(a, UPLO)：返回 Hermitian 或对称矩阵的特征值和特征向量。
• numpy.linalg.eigvals(a)：计算矩阵的特征值。
• numpy.linalg.eigvalsh(a, UPLO)：计算 Hermitian 或真实对称矩阵的特征值。
• numpy.linalg.norm(x ,ord,axis,keepdims)：计算矩阵或向量范数。
• numpy.linalg.cond(x ,p)：计算矩阵的条件数。
• numpy.linalg.det(a)：计算数组的行列式。
• numpy.linalg.matrix_rank(M ,tol)：使用奇异值分解方法返回秩。
• numpy.linalg.slogdet(a)：计算数组的行列式的符号和自然对数。
• numpy.trace(a ,offset,axis1,axis2,dtype,out)：沿数组的对角线返回总和。
• numpy.linalg.solve(a, b)：求解线性矩阵方程或线性标量方程组。
• numpy.linalg.tensorsolve(a, b ,axes)：为 x 解出张量方程 a x = b
• numpy.linalg.lstsq(a, b ,rcond)：将最小二乘解返回到线性矩阵方程。
• numpy.linalg.inv(a)：计算逆矩阵。
• numpy.linalg.pinv(a ,rcond)：计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。
• numpy.linalg.tensorinv(a ,ind)：计算 N 维数组的逆。

这里我们就不再一一尝试了，阅读一遍留下印象，用到时查阅官方文档即可。

数组索引和切片

我们已经明确了，Ndarray 是 NumPy 的组成核心，那么对于 NumPy 的多维数组，其实它完整集成了 Python 对于数组的索引语法 array[obj]。随着 obj 的不同，我们可以实现字段访问、数组切片、以及其他高级索引功能。

数组索引

我们可以通过索引值（从 0 开始）来访问 Ndarray 中的特定位置元素。NumPy 中的索引和 Python 对 list 索引的方式非常相似，但又有所不同。我们一起来看一下：

首先是，一维数据索引：

a = np.arange(10)  # 生成 0-9
a

获取索引值为 1 的数据。

a[1]

分别获取索引值为 1，2，3 的数据。

a[[1, 2, 3]]

对于二维数据而言：

a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a

获取第 2 行，第 3 列的数据。

a[1, 2]

如果，我们使用 Python 中的 list 索引同样的值，看看有什么区别：

a = a.tolist()
a

按照上面的方法获取第 2 行，第 3 列的数据。【报错】

a[1,  2]

Python 中 list 索引 2 维数据的方法正确的做法是：

a[1][2]

如何索引二维 Ndarray 中的多个元素值，这里使用逗号,分割：

a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a

a[[1, 2], [3, 4]]

这里需要注意索引的对应关系。我们实际获取的是 [1, 3]，也就是第 2 行和第 4 列对于的值 8。以及 [2, 4]，也就是第 3 行和第 5 列对应的值 14。

那么，三维数据呢？

a = np.arange(30).reshape(2, 5, 3)
a

a[[0, 1], [1, 2], [1, 2]]

数组切片

NumPy 里面针对Ndarray的数组切片和 Python 里的 list 切片操作是一样的。其语法为：

Ndarray[start:stop:step]

[start:stop:step] 分别代表 [起始索引:截至索引:步长]。对于一维数组：

a = np.arange(10)
a

a[:5]

a[5:10]

a[0:10:2]

对于多维数组，我们只需要用逗号 , 分割不同维度即可：

a = np.arange(20).reshape(4, 5)
a

先取第 3，4 列（第一个维度），再取第 1，2，3 行（第二个维度）

a[0:3, 2:4]

按步长为 2 取所有列和所有行的数据。

a[:, ::2]

当超过 3 维或更多维时，用 2 维数据的切片方式类推即可。

排序、搜索、计数

最后，再介绍几个 NumPy 针对数组元素的使用方法，分别是排序、搜索和计数。

我们可以使用 numpy.sort 方法对多维数组元素进行排序。其方法为：

numpy.sort(a, axis=-1, kind='quicksort', order=None)

其中：

• a：数组。
• axis：要排序的轴。如果为 None，则在排序之前将数组铺平。默认值为 -1，沿最后一个轴排序。
• kind：{'quicksort'，'mergesort'，'heapsort'}，排序算法。默认值为 quicksort。

举个例子：

a = np.random.rand(20).reshape(4, 5)
a

np.sort(a)

除了 numpy.sort，还有这样一些对数组进行排序的方法：

• numpy.lexsort(keys ,axis)：使用多个键进行间接排序。
• numpy.argsort(a ,axis,kind,order)：沿给定轴执行间接排序。
• numpy.msort(a)：沿第 1 个轴排序。
• numpy.sort_complex(a)：针对复数排序。

搜索和计数

除了排序，我们可以通过下面这些方法对数组中元素进行搜索和计数。列举如下：

• argmax(a ,axis,out)：返回数组中指定轴的最大值的索引。
• nanargmax(a ,axis)：返回数组中指定轴的最大值的索引,忽略 NaN。
• argmin(a ,axis,out)：返回数组中指定轴的最小值的索引。
• nanargmin(a ,axis)：返回数组中指定轴的最小值的索引,忽略 NaN。
• argwhere(a)：返回数组中非 0 元素的索引,按元素分组。
• nonzero(a)：返回数组中非 0 元素的索引。
• flatnonzero(a)：返回数组中非 0 元素的索引,并铺平。
• where(条件,x,y)：根据指定条件,从指定行、列返回元素。
• searchsorted(a,v ,side,sorter)：查找要插入元素以维持顺序的索引。

10. extract(condition,arr)：返回满足某些条件的数组的元素。

• count_nonzero(a)：计算数组中非 0 元素的数量。

选取其中的一些方法举例：

a = np.random.randint(0, 10, 20)
a

np.argmax(a)

np.argmin(a)

np.nonzero(a)

np.count_nonzero(a)